Движение точки переменной массы

Роль ракетной техники на современном этапе цивилизации и развития механики оказалась настолько заметной, что теория движения тел с переменной массой в последние десятилетия фактически стала синонимом прикладных задач, связанных с полетом ракеты. В действительности задач о движении тела с переменной массой можно предложить очень много. Это, например, движение клети в шахте при увеличении или уменьшении длины и соответственно массы удерживающего троса; это - качение снежного кома по склону горы; это - движение падающей в воздухе дождевой капли, на поверхности которой конденсируется атмосферная влага; это - движение кометы, теряющей вблизи Солнца часть испаряющегося вещества, и многие другие задачи. Все они и им подобные уже решались в начале прошлого века, а несколько позже некоторые из них, в частности простейшие задачи о полете ракеты, вошли в учебную литературу по механике.

При решении задач о поступательном движении тела мы пользуемся теоремой об изменении количества движения, которую пишем в форме закона Ньютона:

где М - масса тела, - ускорение, а в правую часть вынесена сумма проекций внешних сил. В такой же форме принято писать и уравнение для движения ракеты.

Но только в число действующих сил включается сила, создаваемая двигателем, - тяга двигателя.

Пока, однако, забудем о ракете и подойдем к уравнению (1.1) с общих позиций. Посмотрим, что в нем изменится, если масса тела в процессе движения не остается постоянной.

Положим, масса непрерывно увеличивается. Пусть за время Δt к массе М присоединяется масса ΔМ , имеющая абсолютную скорость V 1 (рис. 1.1). По теореме об изменении количества движения имеем:

до соединения масс количество движения

а после того как массы объединились -

изменение количества движения равно импульсу внешних сил -

Раскрывая скобки и разделив обе части равенства на Δt , а затем, переходя к пределу, получим уравнение движения для точки переменной массы:

(1.2)

Характерной особенностью этого уравнения является то, что в него вошло слагаемое, содержащее производную от массы по времени. Значение этого слагаемого, имеющего размерность силы, зависит от относительной скорости присоединения частиц V 1 -V и может быть как положительным, так и отрицательным, смотря по тому, какой знак имеет относительная скорость и производная массы по времени.

Выведенное уравнение обладает достаточной общностью. Его можно трактовать и как векторное, и оно может быть положено в основу решения многих задач. Например, с его помощью можно подсчитать тормозящую силу, которую испытывает автомашина от действия капель при движении в потоке дождя. Для этого достаточно принять горизонтальную составляющую скорости капель V 1 равной нулю, за величину V принять скорость машины, а производную от массы по времени рассматривать как суммарную массу капель, захватываемых машиной в единицу времени. С помощью уравнения (1.2) решается, например, классическая задача о сползании со стола цепи (рис. 1.2). Уравнение движения для цепи, полученное из уравнения (1.2), оказывается нелинейным, но его можно решить. При нулевой начальной скорости путь, проходимый цепью за время t , оказывается ровно в три раза меньшим, чем для свободно падающего тела.

С помощью уравнения (1.2) описывается, естественно, и движение ракеты.

Масса ракеты во времени уменьшается, и производная М меньше нуля. Это - секундный расход массы, который обозначим через :

(1.3)

Часто вместо массового рассматривается секундный весовой расход рабочего тела

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет

Факультет Технической Кибернетики

Реферат на тему:

Движение тел переменной массы. Основы теоретической космонавтики.

Студент: Перов Виталий

Группа:1085/3

Преподаватель: Козловский В.В

Санкт-Петербург

История космонавтики 3

Уравнение Мещерского 3

Уравнение Циолковского 4

Числовые характеристики одноступенчатой ракеты 4

Многоступенчатые ракеты 5

Список используемой литературы: 6

Зарождение космонавтики

Моментом зарождения космонавтики можно условно назвать первый полёт ракеты, продемонстрировавший возможность преодолевать силу земного притяжения. Первая ракета открыла перед человечеством огромные возможности. Много смелых проектов было предложено. Один из них - возможность полёта человека. Однако, этим проектам было суждено воплотится в реальность только спустя многие годы. Своё практическое применение ракета нашла только в сфере развлечений. Люди не раз любовались ракетными фейерверками, и, вряд ли кто-нибудь тогда мог представить себе её грандиозное будущее.

Рождение космонавтики, как науки, произошло в 1987 году. В этом году была опубликована магистерская диссертация И.В Мещерского, содержащая фундаментальное уравнение динамики тел переменной массы. Уравнение Мещерского дало космонавтике «вторую жизнь»: теперь в распоряжении ракетостроителей появились точные формулы, которые позволяли создавать ракеты основываясь не на опыте предыдущих наблюдении, а на точных математических расчетах.

Общие уравнения для точки переменной массы и некоторые частные случаи этих уравнений уже после их опубликования И. В. Мещерским «открывались» в XX веке многими учёными западной Европы и Америки (Годар, Оберт, Эсно-Пельтри, Леви-Чивита и др.).

Случаи движения тел, когда их масса меняется можно указать в самых различных областях промышленности.

Наибольшую известность в космонавтики получило не уравнение Мещерского, а уравнение Циолковского. Оно представляет собой частный случай уравнения Мещерского.

К. Э. Циолковского можно назвать отцом космонавтики. Он был первым, кто увидел в ракете средство для покорения человеком космоса. До Циолковского на ракету смотрели как на игрушку для развлечений или как на один из видов оружия. Заслуга К. Э. Циолковского состоит в том, что он теоретически обосновал возможность покорения космоса при помощи ракет, вывел формулу скорости движения ракеты, указал на критерии выбора топлива для ракет, дал первые схематические чертежи космических кораблей, привёл первые расчеты движения ракет в поле тяготения Земли и впервые указал на целесообразность создания на орбитах вокруг Земли промежуточных станций для полётов на другие тела Солнечной системы.

Уравнение Мещерского

Уравнения движения тел с переменной массой являются следствиями законов Ньютона. Тем не менее, они представляют большой интерес, главным образом, в связи с ракетной техникой.

Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет.

Основное уравнение движения тела переменной массы при любом законе изменения массы и при любой относительной скорости выбрасываемых частиц было получено В. И. Мещерским в его диссертации 1897 г. Это уравнение имеет следующий вид:

где – вектор ускорения ракеты, –– вектор скорости истечения газов относительно ракеты, M- масса ракеты в данный момент времени, –– ежесекундный расход массы, - внешняя сила.

По форме это уравнение напоминает второй закон Ньютона, однако, масса тела m здесь меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе F добавляется дополнительный член, который называется реактивной силой.

Уравнение Циолковского

Если внешнюю силу F принять равной нулю, то, после преобразований, получим уравнение Циолковского:

Отношение m 0 /m называется числом Циолковского, и часто обозначается буквой z.

Скорость, рассчитанная по формуле Циолковского, носит название характеристической или идеальной скорости. Такую скорость теоретически имела бы ракета при запуске и реактивном разгоне, если бы другие тела не оказывали на неё никакого влияния.

Как видно из формулы, характеристическая скорость не зависит от времени разгона, а определяется на основе учёта только двух величин: числа Циолковского z и скорости истечения u. Для достижения больших скоростей необходимо повышать скорость истечения и увеличивать число Циолковского. Так как число z стоит под знаком логарифма, то увеличение u даёт более ощутимый результат, чем увеличение z в то же количество раз. К тому же большое число Циолковского означает, что конечной скорости достигает лишь небольшая часть первоначальной массы ракеты. Естественно, такой подход к проблеме увеличения конечной скорости не совсем рационален, ведь надо стремится выводить в космос большие массы, при помощи ракет с возможно меньшими массами. Поэтому конструкторы стремятся прежде всего к увеличению скоростей истечения продуктов сгорания из ракет.

Числовые характеристики одноступенчатой ракеты

При анализе формулы Циолковского было выяснено, что число z=m 0 /m является важнейшей характеристикой ракеты.

Разделим конечную массу ракеты на две составляющие: полезную массу М пол, и массу конструкции М констр. К полезной относят только массу контейнера, который требуется запустить с помощью ракеты для выполнения заранее запланированной работы. Масса конструкции – вся остальная масса ракеты без топлива(корпус, двигатели, пустые баки, аппаратура). Таким образом M= М пол + М констр; M 0 = М пол + М констр + М топл

Обычно оценивают эффективность транспортировки груза при помощи коэффициента полезной нагрузки р. р= M 0 / М пол. Чем меньшим числом выражен этот коэффициент, тем большую часть от общей массы составляет масса полезного груза

Степень технического совершенства ракеты характеризуется конструктивной характеристикой s. . Чем большим числом выражается конструктивная характеристика, тем более высокий технический уровень у ракеты-носителя.

Можно показать, что все три характеристики s, z и p связаны между собой следующими уравнениями:

Многоступенчатые ракеты

Достижение очень больших характеристических скоростей одноступенчатой ракеты требует обеспечения больших чисел Циолковского и ещё больших по величине конструктивных характеристик (т.к всегда s>z). Так, например при скорости истечения продуктов сгорания u=5км/с для достижения характеристической скорости 20км/с требуется ракета с числом Циолковского 54,6. Создать такую ракету в настоящее время невозможно, но это не значит, что скорость 20км/с не может быть достигнута при помощи современных ракет. Такие скорости обычно достигаются при помощи одноступенчатых, т.е составных ракет.

Когда массивная первая ступень многоступенчатой ракеты исчерпывает при разгоне все запасы топлива, она отделяется. Дальнейший разгон продолжает другая, менее массивная ступень, и к ранее достигнутой скорости она добавляет ещё некоторую скорость, а затем отделяется. Третья ступень продолжает наращивание скорости, и т.д.

Согласно формуле Циолковского, первая ступень в конце разгона достигнет скорости , где . Вторая ступень увеличит скорость ещё на , где . Полная характеристическая скорость двухступенчатой ракеты будет равна сумме скоростей, сообщаемых каждой ступенью в отдельности:

Если скорости истечения из ступеней одинаковы, то , где Z= - число Циолковского для двухступенчатой ракеты.

Нетрудно доказать, что в случае 3-x ступенчатой ракеты число Циолковского будет равно Z=.

Итак, предыдущая задача достичь скорости 20км/с легко решается с помощью 3-х ступенчатой ракеты. Для неё число Циолковского будет также равно 54,6, однако, числа Циолковского для каждой ступени (при условии их равенства между собой) будут равны 3.79, что является вполне достижимым для современной техники.

Список используемой литературы:

Основы космонавтики / А. Д. Марленский

Люди русской науки: Очерки о выдающихся деятелях естествознания и техники / под редакцией С. И. Вавилова.

Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива).

Пусть в момент времени t масса ракеты m , а ее скорость ; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m-dm , а скорость увеличится до величины Изменение импульса системы за время dt будет равно:

где - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:

Если на систему действуют внешние силы, то т.е. или Тогда или

(2.12)

где член называют реактивной силой . Если вектор противоположен , то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормозится.

Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид:

(2.13)

Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского .

Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:

где С - постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени , а стартовая масса ракеты составляет m 0 , то .Следовательно,

(2.14)

Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского . Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы:

а) чем больше конечная масса ракеты m , тем больше должна быть стартовая масса m 0 ;

б) чем больше скорость истечения газов u , тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости и намного меньше скорости света с .

Краткие выводы

· Динамика - раздел механики, предметом изучения которого являются законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.

· В основе динамики материальной точки и поступательного движения твердого тела лежат законы Ньютона . Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета и формулируется следующим образом: существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела или действие других тел компенсируется .

· Инерциальной называется система отсчета, относительно которой свободная материальная точка, на которую не действуют другие тела, движется равномерно и прямолинейно, или по инерции. Система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета с ускорением, называется неинерциальной .

· Свойство любого тела оказывать сопротивление изменению его скорости называется инертностью . Мерой инертности тела при его поступательном движении является масса .

· Сила - это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

· Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение, приобретаемое телом (материальной точкой), пропорционально равнодействующей приложенных сил, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела :

Или

Более общая формулировка второго закона Ньютона гласит: скорость изменения импульса тела (материальной точки) равна равнодействующей приложенных сил :

где - импульс тела. Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

· Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга взаимно. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль соединяющей точки прямой (третий закон Ньютона) :

Эти силы приложены к разным точкам, действуют парами и являются силами одной природы.

· В замкнутой механической системе выполняется фундаментальный закон природы - закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы материальных точек (тел) с течением времени не изменяется :

где n - число материальных точек в системе. Замкнутой (изолированной ) называется механическая система, на которую не действуют внешние силы.

· Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства : при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства не изменяются.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Какие системы отсчета называются инерциальными? Почему система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна?

2. Какое свойство тела называется инертностью? Что является мерой инертности тела при его поступательном движении?

3. Что такое сила, чем она характеризуется?

4. Какие основные задачи решает ньютоновская динамика?

5. Сформулируйте законы Ньютона. Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона?

6. В чем заключается принцип независимости действия сил?

7. Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми (изолированными)?

8. Сформулируйте закон сохранения импульса. В каких системах он выполняется?

9. Каким свойством пространства обусловлена справедливость закона сохранения импульса?

10. Выведите уравнение движения тела переменной массы. Какие практические выводы позволяет сделать формула Циолковского?

Примеры решения задач

Задача 1 . Грузы одинаковой массы (m 1 =m 2 =0,5 кг) соединены нитью и перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце стола (рис. 2.2). Коэффициент трения груза m 2 о стол µ =0,15. Пренебрегая трением в блоке, определить: а) ускорение, с которым движутся грузы; б) силу натяжения нити.

Дано: m 1 =m 2 =0,5 кг; µ =0,15.

Найти: а , Т .

По второму закону Ньютона уравнения

движения грузов имеют вид:

Ответ: а =4,17 м/с 2 , Т =2,82 Н.

Задача 2 . Снаряд массой 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость 300 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью 100 м/с. Определить скорость второго, меньшего, осколка.

Дано: m =5 кг; v =300 м/с; m 1 =3 кг; v 1 =100 м/с.

Найти: v 2 .

По закону сохранения импульса

где м/с.

Ответ: v 2 =900 м/с.

Задачи для самостоятельного решения

1. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону , где С =2 м/с 2 , D =0,4 м/с 3 . Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.

2. К нити подвешен груз массой 500 г. Определить силу натяжения нити, если нить с грузом: а) поднимать с ускорением 2 м/с 2 ; б) опускать с тем же ускорением.

3. На тело массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости (угол α равен 20 0), действует горизонтально направленная сила 8 Н. Пренебрегая трением, определить: а) ускорение тела; б) силу, с которой тело давит на плоскость.

4. С вершины клина, длина которого 2 м и высота 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином μ=0,15. Определить: а) ускорение, с которым движется тело; б) время прохождения тела вдоль клина; в) скорость тела у основания клина.

5. Два груза с неравными массами m 1 и m 2 (m 1 > m 2 ) подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определить: а) ускорение грузов; б) силу натяжения нити.

6. Платформа с песком общей массой М =2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m =8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда 450 м/с, а ее направление - сверху вниз под углом 30 0 к горизонту.

7. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой 10 кг вылетает из ствола под углом 60 0 к горизонту. Определить скорость снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в 2 раза.

8. Человек массой 70 кг находится на корме лодки, длина которой 5 м и масса 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние лодка передвинется по воде относительно дна?

9. Шарик массой 200 г ударился о стенку со скоростью 10 м/с и отскочил от нее с такой же скоростью. Определить импульс, полученный стенкой, если до удара шарик двигался под углом 30 0 к плоскости стенки.

10. Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями соответственно 5 и 7 м/с. Определить скорости шаров после прямого неупругого удара в случаях: а) больший шар догоняет меньший; б) шары двигаются навстречу друг другу.

ГЛАВА 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

Реферат подготовил судент: Перов Виталий Группа:1085/3

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет

Санкт-Петербург 2005г.

Зарождение космонавтики

Случаи движения тел, когда их масса меняется можно указать в самых различных областях промышленности.

Уравнение Мещерского

– вектор ускорения ракеты, –– вектор скорости истечения газов относительно ракеты, M- масса ракеты в данный момент времени, –– ежесекундный расход массы, - внешняя сила.

Уравнение Циолковского

Если внешнюю силу F принять равной нулю, то, после преобразований, получим уравнение Циолковского:

Отношение m0/m называется числом Циолковского, и часто обозначается буквой z.

Числовые характеристики одноступенчатой ракеты

При анализе формулы Циолковского было выяснено, что число z=m0/m является важнейшей характеристикой ракеты.

Разделим конечную массу ракеты на две составляющие: полезную массу Мпол, и массу конструкции Мконстр. К полезной относят только массу контейнера, который требуется запустить с помощью ракеты для выполнения заранее запланированной работы. Масса конструкции – вся остальная масса ракеты без топлива(корпус, двигатели, пустые баки, аппаратура). Таким образом M= Мпол + Мконстр; M0= Мпол + Мконстр + Мтопл

Обычно оценивают эффективность транспортировки груза при помощи коэффициента полезной нагрузки р. р= M0/ Мпол. Чем меньшим числом выражен этот коэффициент, тем большую часть от общей массы составляет масса полезного груза

Степень технического совершенства ракеты характеризуется конструктивной характеристикой s.

. Чем большим числом выражается конструктивная характеристика, тем более высокий технический уровень у ракеты-носителя.

Можно показать, что все три характеристики s, z и p связаны между собой следующими уравнениями:

Многоступенчатые ракеты

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm

и станет равной т - dm, а скорость станет равной v +dv . Изменение импульса системы за отрезок времени dt

dp = [(m-dm) (v +dv )+dm (v + u )]- m v ,

где и - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

dp = mdv + u dm

(учли, что dm dv - малый высшего порядка малости по сравнению с остальными).

Если на систему действуют внешние силы, то dp = F dt, поэтому

F dt = m dv + u dm,

mdv /dt=F -u dm/dt. (10.1)

Член -u dm/dt называют реактивной силой

F p . Если u противоположен v , то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.

Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы

ma =F + F p , (10.2)

которое впервые было выведено И. В.Мещерским (1859-1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказывалась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854-1881). К.Э.Циолковский (1857- 1935) в 1903 г. опубликовал статью, где

предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основателем отечественной космонавтики.

Применим уравнение (10.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F = 0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

dv dm т dv/dt=-udm/dt. откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса то, то С = uln m 0 . Следовательно,

v = uln(m 0 /m). (10.3)

Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты то; 2) чем больше скорость истечения и газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Выражения (10.2) и (10.3) получены для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью света с.

Контрольные вопросы

Какая система отсчета называется инерциальной? Почему система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна?

Что такое сила? Как ее можно охарактеризовать?

Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона? Почему? « Сформулировав три закона Ньютона, покажите, какова взаимосвязь между этими законами. » В чем заключается принцип независимости действия сил?

Какова физическая сущность трения? В чем отличие сухого трения от жидкого? Какие виды внешнего (сухого) трения Вы знаете?

Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми? Является ли Вселенная замкнутой системой? Почему?

В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется? Почему он является фундаментальным законом природы?

Каким свойством пространства обусловливается справедливость закона сохранения импульса?

Что называется центром масс системы материальных точек? Как движется центр масс замкнутой системы?

2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту, равным 30°, скользит тело. Определить скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффициент трения 0,15. [ 10,9 м/с]

2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наименьшая скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли?

2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы a=30° и beta=45°. Гири равной массы (m 1 = m 2 = 2 кг) соединены нитью, перекинутой через блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о наклонные плоскости равными f 1 =f 2 =f =0,l и пренебрегая трением в блоке, определить: 1) ускорение, с которым движутся гири; 2) силу натяжения нити.

2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из которой производится выстрел вдоль полотна под углом  = 45 ° к горизонту. Масса платформы с пушкой М = 20 т, масса снаряда m=10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и рельсами f = = 0,002. Определить скорость снаряда, если после выстрела платформа откатилась на расстояние s = 3 м. [ v 0 = МV2fgs/(m cos) = 970 м/с]

2.5. На катере массой m = 5т находится водомет, выбрасывающий  = 25 кг/с воды со скоростью u = 7 м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: 1) скорость катера через 3 мин после начала движения; 2) предельно возможную скорость катера.

Движение точки переменной массы

Читайте также